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    1、問題的提出

    精密儀器的運(yùn)動單元一般均采用微型無刷永磁直流電機(jī)，電機(jī)尺寸以及安裝空間很小，對電機(jī)的控制精度要求較高，一般要求達(dá)到0.5%～0.1%，另外在某些應(yīng)用中對成本控制的要求較高。

    通常直流電機(jī)的控制多采用速度/力矩負(fù)反饋閉環(huán)控制，可以做到高精度控制。但需要給電機(jī)安裝編碼器、力矩傳感器等器件進(jìn)行控制參數(shù)的測量，并設(shè)置控制電路進(jìn)行控制[1]，這種方案因?yàn)轶w積/成本原因?qū)軆x器電機(jī)的控制是不可行的。

    近些年來，常采用電子穩(wěn)速電路對小型直流電機(jī)進(jìn)行控制，圖1是一種典型的電子穩(wěn)速電路。其中G1是調(diào)速管，G2是比較放大管，W是速度微調(diào)電阻。但它只是單純應(yīng)用電機(jī)的反相電動勢負(fù)反饋原理進(jìn)行控制，其控制精度差，一般大于0.5%，并且超調(diào)大，過渡時(shí)間長，不能滿足精密儀器的控制精度要求。

                                 
                                       圖1 典型的電子穩(wěn)速電路

    2、電機(jī)數(shù)學(xué)模型分析

    微型無刷永磁直流電機(jī)的等效電路如圖2所示。

                                      
                                    圖2 無刷永磁直流電機(jī)等效電路

      其中：U為輸入電壓，ω為輸出角頻率，R為等效內(nèi)阻，L為等效感抗，I為電機(jī)電流，E為電樞反應(yīng)的反電勢，ML為負(fù)載擾動力矩。

     由電路原理可知：                                 （1）

    電樞反應(yīng)的反電勢E與ω的關(guān)系是：                             （2）
    其中：ke為電勢系數(shù)，由電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。

    由剛體旋轉(zhuǎn)定律可寫出電機(jī)軸上的機(jī)械運(yùn)動方程：        （3）

    其中：M是電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩，并且存在 ，km為轉(zhuǎn)矩系數(shù)，J為慣性系數(shù)，由電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定。

    當(dāng)電機(jī)空載時(shí)， ，因此有：                 （4）

                                                             （5）

    將（5）式代入（1）式，得：
                                          （6）

    對（6）式求Laplace變換，得：
                                   （7）

    （7）式就是無刷永磁直流電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)速與輸入電壓的傳遞函數(shù)，它是I型系統(tǒng)、二階系統(tǒng)。

    令 ，

    則（7）式變形為：                   （8）
      其中：T為時(shí)間常數(shù)，ω0為自然頻率，ξ是阻尼比。

    3、控制算法設(shè)計(jì)與求解

    基于對無刷永磁直流電機(jī)數(shù)學(xué)模型的研究以及二階系統(tǒng)成熟的控制理論，采用最為成熟的PID控制算法對其進(jìn)行控制[2]，相應(yīng)的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖[3]如圖3所示。

                              
                                          圖3 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

    則其系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：             （9）

    此處 ，并且

    因此有：        （10）

    對（10）化簡并整理，得：（11）

      基于模型匹配的PID控制器參數(shù)設(shè)計(jì)方法，選擇閉環(huán)控制系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為[4]：                              （12）

    其中：σ3、σ2、σ1和σ0為閉環(huán)控制系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)；系數(shù)α為控制系統(tǒng)自由設(shè)計(jì)參數(shù)。通過α值的不同來平衡控制系統(tǒng)對指令響應(yīng)和擾動抑制。根據(jù)模型跟蹤控制的ITAE規(guī)則，推薦閉環(huán)控制系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)系數(shù)  [4]。

    根據(jù)（11）和（12）式，可以計(jì)算出：          （13）

    解（13），得：                         （14）

    4、控制電路的實(shí)現(xiàn)

    由于目前集成運(yùn)放的可靠性、穩(wěn)定性高，價(jià)格低廉，因此使用集成運(yùn)放來搭建控制電路是一種較好的選擇。圖4給出了使用集成運(yùn)放實(shí)現(xiàn)的PID控制電路。
                                          
                     
                                圖4 基于集成運(yùn)放的PID控制電路

     由電路原理易知：（15）

     即：                         （16）
   
    因此，在求得PID的參數(shù)后，就可以容易得出電路參數(shù)。

    5、仿真試驗(yàn)

    根據(jù)上述的閉環(huán)傳遞函數(shù)，在MATLAB下對被控系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到仿真結(jié)果如圖5所示。

                     
                                        圖5：對被控系統(tǒng)進(jìn)行MATLAB仿真結(jié)果

      由仿真結(jié)果可以看出：對于精密儀器中的微型無刷永磁直流電機(jī)采用PID控制，在控制精度、快速性、超調(diào)量各方面可以取得較好的效果。可以使電機(jī)穩(wěn)定、快速地調(diào)速。

    6、小結(jié)

    本文通過對精密儀器中的微型無刷永磁直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型的分析，使用模型參數(shù)匹配的設(shè)計(jì)方法計(jì)算出基于PID控制的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了高精度和低成本的電機(jī)控制。

    參考文獻(xiàn)
[1] 謝帥.直流電機(jī)伺服控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)[J]. 科技資訊, 2010, (3):212-212.
[2] 唐任遠(yuǎn).現(xiàn)代永磁電機(jī)理論與設(shè)計(jì)[M]. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 1997.
[3] 宋寶等.基于二階系統(tǒng)的伺服電流調(diào)節(jié)器的參數(shù)整定[J]. 機(jī)械與電子, 2004, (9):13-15.
[4] 葉佩青等.基于振動模型的精密工作臺運(yùn)動控制[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)-自然科學(xué)版,2006, 46(2):206-209.

    作者簡介：
賀吟涓（1989- ）
女，湖南省湘潭市人，清華大學(xué)精密儀器與機(jī)械學(xué)系本科2007級學(xué)生。

    摘自《自動化博覽》2011年第二期